Rahmat Abadan : INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Pengertian Integral

$\int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1 }+ C$

Keterangan :

$k$    : koefisien
$x$    : variabel
$n$   : pangkat/derajat dari variabel
$C$    : konstanta

Pengertian Integral secara sederhana yaitu invers (kebalikan) dari suatu turunan. Penjebaran lebih luasnya adalah sebuah konsep bentuk penjumlahan berkesinambungan dan bersama dengan inversnya.

Ide integral sendiri muncul ketika matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Sifat Integral

Berikut ini beberapa sifat integral.

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx$

$\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

$\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx$

Jika $a<b<c$ , maka

$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)$

Pengertian Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

Integral Tentu

Jika fungsi f terdefinisi pada interval $[a,b]$ maka $\int_a^b f(x) \, dx$ disebut integral tertentu fungsi f dar a ke b. Dimana $f(x)$ disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas.

Integral Tentu ini memiliki perbedaan yaitu sudah memiliki nilai tertentu karena sudah ditentukan batasanya.

Teorema dasar kalkulus untuk integral tertentu dinyatak sebagai berikut.

Rumus

Berikut ini rumus Integral Tentu

$\int_{x=a}^{x=b} f(x) dx = \int F(b) - \int F(a) dx$

Keterangan

$f(x)$ = persamaan kurva
$C$ = konstanta
$F(b), F(a)$ : nilai integral untuk $x = b$ dan $x = a$

Sifat-sifat pada Integral Tentu

Integral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan integral, Gengs dapat memanfaatkan sifat-sifat integral berikut ini.

Pertama. Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol karena tidak ada daerah antara batas batas tersebut.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kedua. Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjasi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integral yang sama, maka akan diperoleh hasil hasil yang sama namun berbeda tanda.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Ketiga. Jika f(x) adalah fungsi integral dan k merupakan tetapan (konstanta) sembarang.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keempat. Misalkan diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kelima. Misalkan terdapat dua integral dengan nilai fungsi yang sama dan nilai pada batas atas pada fungsi pertama sama dengan nilai pada batas bawah pada fungsi kedua.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keenam. Apabila fungsi f(x) nya bukan suatu fungsi melainkan konstanta.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Mencari nilai integral

Dalam menncari suatu nilai integral. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan Subtitusi, Eksponensial, Parisal, dan Pecahan.

Substitusi

Beberapa kasus dalam integral dapat kita selesaikan apabila terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain

Contoh Soal

Perhatian contoh soal dibawah ini. Bagaimana kita menyelesaikan suatu fungsi menggunakan metode subtitusi

$\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx = \int u^4 \, du$
$= \frac{1}{5}u^5$
Karena $u=x^4-1$
$\frac{1}{5}^5+C=\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C$
Jadi,
$\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx =\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C$

Integrasi parsial

Integral parsial bisa kita gunakan untuk menyelesaikan soal perkalian antar integral. Secara umum rumusnya seperti dibawah ini

Rumus

$\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU$

Keterangan

$U, V$ = fungsi
$dU, dV$ = turunan dari fungsi $U$ dan turunan dari fungsi $V$

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

$\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU$
$\int x sin2x \, dx = x . - \frac{1}{2} cos 2x - \int \frac{1}{2} cos 2x$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \int \frac{1}{2} cos 2x$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} sin 2x + C$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{4} sin 2x + C$

Eksponensial

Fungsi Eksponensial biasanya dilambangkan dengan $e^x$ . Berikut ini rumusnya.

Rumus

$\int e^x \, dx = e^x+C$
$\int e^(kx) \, dx = \frac{1}{k}e^x+C$
$\int k^x \, dx = \frac{k^x}{\ln k}+C$

Keterangan

$ex, ekx$ : fungsi eksponensial
$C$ : konstanta

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

$\int (e^x)^-2 \, dx = ...$
Misal : $u=e^x$
Maka:
$du = e^x \, dx$
$du = u \, dx$
$\frac{1}{u}du=dx$
Jadi,
$\int (e^x)^{-2} \, dx$
$=\int (u)^{-2}.\frac{1}{u}du$
$=\int \frac{1}{u^2}.\frac{1}{u}du$
$=\int \frac{1}{u^3}du$
$=\int u^3 \, du$
$=- \frac{1}{2}u^2+c$
Jadi nilai $u$ adalah
$= -\frac{1}{2}(e^x)^{-2}+c$

Pecahan

Fungsi pecahan didefinisikan dengan $\frac{f(x)}{g(x)}$ . Prinsip penyelesaian dengan fungsi pecahan ini adalah memecah beberapa fungsi yang rumit/komplek menjadi lebih sederhana. Berikut ini contohnya

Contoh Soal

$\int \frac{1}{x^2-1}dx$

Integral tersebut bisa kita uraikan seperti ini.

$\int \frac{1}{x^2-1}dx = \int {1}{(x+1)(x-1)dx}$

Dari uraian sebelumnya, sekarang kita bisa menyederhanakannya lagi dengan memecahnya seperti ini.

$\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}$

$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$(A+B)x + B-A=1$

Sehingga kita dapatkan:

$B-A=1$ dan $A+B=0$

Hasil akhirnya $B=1/2$ dan $A=-1/2$

Tabel Integral

Gunakan tabel dibawah ini untuk mempermudah kamu dalam mengerjakan soal-soal integral ya.

Integral fungsi	Hasil integral
$\int \sin x \, dx$	$- \cos x$
$\int \cos x \, dx$	$\sin x + C$
$\int \tan x \, dx$	$\ln \|sec \, x\| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} x \, dx$	$\arc sin \, x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt(1+x^2)} x \, dx$	$\arc tan \, x + C$
$\int \frac{1}{2\sqrt(x^2)-1} x \, dx$	$\arc sec \, x + C$
$\int \sinh x \, dx$	$\cosh x + C$
$\int \sinh x \, dx$	$\sinh x + C$