Rahmat Abadan : LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

LUAS DAERAH

Misalkan y = f $x$

berharga positif pada daerah

l a t e x a \leq x \leq b

dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

x

dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = f $x$

berharga negatif pada daerah

l a t e x a \leq x \leq b

maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f

x

dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan $l a t e x f (x) \geq g (x)$

pada daerah

l a t e x a \leq x \leq b

maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

x

dan y = g

x

adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

y = x2 ……… $1$

y = x + 6 ……… $2$

Dari $1$

dan

2

didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

$l a t e x L = \int (x + 6 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x - \frac{1}{3} x^{3} ∣_{- 2}^{3}$

$l a t e x = (\frac{9}{2} + 18 - 9) - (2 - 12 + \frac{8}{3}) = 21 \frac{1}{2}$

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = f $x$

terdefinisi dan integrabel pada daerah

l a t e x a \leq x \leq b

, bila daerah yang dibatasi oleh y = f

x

dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

$l a t e x y = x^{2}$

$l a t e x y = x + 2$

Sehingga :

$l a t e x x^{2} = x + 2$

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

$\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Luas Daerah}}\\\hline \textrm{Di Atas Sumbu X}&\textrm{Di Bawah Sumbu X}\\\hline &-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx\\ \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx&atau\\ &\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\: \: dx\\\hline \end{array}$ .

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

maka luas $A_{1}\: \textrm{dan}\: A_{2}$ adalah:

$L_{\displaystyle A_{1}\: \textrm{dan}\: \displaystyle A_{2}}=\displaystyle \int_{b}^{c}f(x)\: dx-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: dx$ .

B. Volume Benda Putar

$\boxed{V=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( f(x) \right )^{2}\: \: dx=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx}$ .

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

CONTOH SOAL

$\begin{array}{lp{16.0cm}}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah luas daerah bidang berikut dan tentukan pula volumenya seandainya bidang yang diarsir tersebut diputar terhadap sumbu X} \end{array}\\$ .

Jawab:
$\begin{array}{lll}\\ \begin{aligned}L_{\textrm{Arsiran}}&=\displaystyle \int_{1}^{3}2x\: dx\\ &=\displaystyle \left [ x^{2} \right ]_{1}^{3}\\ &=\left ( 3 \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}\\ &=9-1\\ &=8\quad \textbf{satuan luas}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\textbf{dan}&\begin{aligned}V_{\textrm{Benda putar}}&=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( y \right )^{2}\: dx=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( 2x \right )^{2}\: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}4x^{2}\: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{4x^{3}}{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 3^{3}}{3} \right )-\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 1^{3}}{3} \right )\\ &=36\pi -\displaystyle \frac{4}{3}\pi \\ &=34\displaystyle \frac{2}{3}\pi \quad \textbf{satuan volum} \end{aligned} \end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Jika}\: f(x)=\left ( x-2 \right )^{2}-4\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)=-f(x),\: \textrm{maka luas daerah yang di batasi kurva \textit{f} dan \textit{g} adalah ....\textbf{(UAN 2003)}} \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\\\ .\quad&a.&10\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &b.&21\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &c.&22\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &d.&42\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &e.&45\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{array}$ .
Jawab:
Perhatikan Ilustrasi berikut

$\begin{aligned}\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( g(x)-f(x) \right )\: \: dx&=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )-\left ( x^{2}-4x \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 8x-2x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \left [4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3} \right ]_{0}^{4}\\ &=\displaystyle \left ( 4.4^{2}-\frac{2}{3}.4^{3} \right )-\left ( 4.0^{2}-\frac{2}{3}.0^{3} \right )\\ &=\displaystyle \left ( 64-\frac{2}{3}.64 \right )-0\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{aligned}$ .

Kita juga dapat menggunakan rumus $\displaystyle L=\frac{\displaystyle D\sqrt{D}}{\displaystyle 6a^{2}}$ .
$\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}f(x)&=g(x)\\ f(x)&=-f(x), &\textnormal{ingat g(x)\: =\: -f(x)}\\ 2f(x)&=0, &\textnormal{tidak boleh disederhanakan, }\\ 2\times \left (\left ( x-2 \right )^{2}-4 \right )&=0, &\textnormal{karena akan mempengaruhi hasil akhir}\\ 2\times \left ( x^{2}-4x \right )&=0\\ 2x^{2}-8x&=0,\quad \begin{cases} a=2,\: b=-8 & c=0 \\ D=b^{2}-4ac, & D=\left ( -8 \right )^{2}-4(2)(0)=64 \end{cases}\\ &\\ L_{\: \textbf{daerah}}&=\displaystyle \frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{6\textbf{a}^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\sqrt{64}}{6(2)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\times 8}{6\times 4}\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}\\ &=21\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}\\\hline\end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui parabola}\: \: f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.\\ &\textrm{Titik potong kedua para bola tersebut dapat cari dengan}\\ &\\ &f_{1}(x)=f_{2}(x)\: \: \Leftrightarrow \: \: a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\\ &\: \, \, \qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \: ax^{2}+bx+c=0.\\ &\\ &\textrm{Jika kedua parabola berpotongan di dua titik, tunjukkan bahwa luas daerah antara} \\ &\textrm{kedua parabola tersebut dapat dinyatakan dengan}\: \: \: \displaystyle \textbf{L}=\frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{\textbf{6a}^{\textbf{2}}} \\\end{array}$ .
Bukti:
$ax^{2}+bx+c=0\: \begin{cases} &x_{1}=\displaystyle \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & \\ &x_{2}=\displaystyle \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{cases}\\ \begin{aligned}L&=\displaystyle \int_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\: \left ( ax^{2}+bx+c \right )\: \: dx=\left [ \displaystyle \frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx \right ]_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\\ &=\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &\quad -\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{a}{24a^{3}}\left [ \left ( \sqrt{D}^{3}-3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}-b^{3} \right )+\left ( \sqrt{D}^{3}+3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}+b^{3} \right ) \right ]\\ &\quad +\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right )-\left ( b^{2}+2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right ) \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ \left ( -b+\sqrt{D} \right )-\left ( -b-\sqrt{D} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{1}{24a^{2}}\left [ 2\sqrt{D}^{3}+6\sqrt{D}b^{2} \right ]+\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ -4b\sqrt{D} \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ 2\sqrt{D} \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}^{3}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ D+3b^{2}-6b^{2}+12ac \right ]\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned}&=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-4ac \right )-3b^{2}+12ac \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ -2b^{2}+8ac \right ]=-\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ b^{2}-4ac \right ]=-\frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ D \right ]\\ &=-\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}},\quad \textbf{luas tidak mungkin negatif}\\ L&=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}\quad \blacksquare \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y^{2}=x\: \: \textrm{dan}\: \: y=x\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini

.
$\begin{array}{|r|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Langkah-langkah}}\\\hline \textrm{Pertama (Mencari Batas)}&\textrm{Kedua (Menentukan Volumenya)}&\textrm{Keterangan}\\\hline \begin{aligned}y&=y\\ x^{2}&=x\\ x^{2}-x&=0\\ x\left ( x-1 \right )&=0\\ x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x&=1\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}V&=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{0}^{1}\left ( x-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{1}\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right ]\\ V&=\displaystyle \frac{1}{6}\pi \end{aligned}&\begin{aligned}&\textnormal{Perhatikan bahwa;}\\ &y^{2}=x\Rightarrow y=\sqrt{x},\: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{1}\\ &\textnormal{Sehingga}\: y_{1}-\textrm{nya adalah}\: \: \sqrt{x}\\ &\textnormal{dan}\: \: y=x\: \: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{2}\\ &\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )=\left ( \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )=x-x^{2}\end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Jadi, volume dari benda putar tersebut dalam satuan volum adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\pi }&\\\hline \end{array}$

.
$\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y=2x\: ,\: y=x,\: x=1,\: \textrm{dan}\: \: x=3\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut

$\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=3&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}\left ( f^{2}(x)-g^{2}(x) \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}3x^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ x^{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\displaystyle \pi \left ( 3^{3} \right )-\pi \left ( 1^{3} \right )\\ &=27\pi -1\pi \\ V&=26\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Tentukan volume daerah yang dibatasi oleh lingkaran }\\ &x^{2}+y^{2}=4\: ,\: \textrm{selang}\: -2\leq x\leq 2\: \textrm{dan}\: \: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}$ .
Jawab:

$\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=-2\: \: \textrm{sampai}\: \: x=2&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{-2}^{2}\left ( 4-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ 4x-\displaystyle \frac{x^{3}}{3} \right ]_{-2}^{2} \\ &=\displaystyle \pi \left ( 8-\displaystyle \frac{8}{3} \right )-\pi \left ( -8+\displaystyle \frac{8}{3} \right )\\ &=\displaystyle \pi \left ( 8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3} \right )\\ V&=\displaystyle \frac{32}{3}\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}$ d

daftar pustaka

https://www.studiobelajar.com/integral-tentu-penggunaan-integral/

Rahmat Abadan

Thursday, April 8, 2021

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Cara menjaga daya tahan tubuh

Report Abuse