SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 1. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

ANS: E. 150 hari

Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

 

2. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah…
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160

ANS: D. 150

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ‘ (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.

3. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (4x2−8x+24) ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ⋯⋅
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

ANS: 
B. Rp32.000,00

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.

4.Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$

 ANS: 
C. $150$ 

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.

5. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$

       ANS: C. $230$

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$

6. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$

       ANS:
C. $10$

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$

Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$

7. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$

   ANS: D. $720$

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$

. 

Turunan pertama fungsi $h$ adalah

$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$

Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis

$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$

Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu

$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 

Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$

 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA
https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/