Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...Jawab :
x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 
y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)
Persamaan Garis singgung
m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x Persamaan garis singgung
Persamaan garis normal
gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 
Garis normal bergardien melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis Normalnya adalah
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva
Soal Nomer 1
Tentukanlah persamaan pada garis singgung bagi kurva y = x2 + 3x pada titik (1,3)
Pembahasan
f(x) = x2 + 3x
f'(x) = 3x + 2
m = f ‘(1) = 3(1) + 2 = 5
m = 5
Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah:
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 5(x − 1)
y − 3 = 5x − 5
y = 5x − 2
Soal Nomer 2
Tentukanlah Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x3 – 3x2 pada titik berabsis 2
Pembahasan
Absis itu ialah sumbu -x, jadi x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 3x3 – 2x2
y = 3(2)3 − 3(2)2
y = 24 – 12
y = 12
Jadi titik singgung : (2, 12)
Langkah ke- 2: Cari nilai dari gradien
f(x) = 3x3 – 3x2
f ‘(x) = 9x2 – 6x
m = f ‘(2) = 9(2)2 − 6(2)
m = 36 – 12
m = 24
Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 12 = 24(x − 2)
y = 24x – 36
Soal Nomer 3
Tentukanlah persamaan pada garis singgung pada kurva y = 2 + 3x – x2 sejajar dengan garis 2x + y = 3
Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari nilai dari m1
y = 2 + 3x – x2
m1 = f'(x) = -3x + 2
m1 = -3x + 2
Langkahke-2 : Carilah nilai dari m2
2x + y = 3
y = -2x + 3
m2 = -2 (Ingat !! Apabila y = ax + b ⇒ m = a )
Langkah ke-3 : Cari nilai dari x
Dikarenakan kedua garisnya saling sejajar maka berlakunya :
m1 = m2
-3x + 2 = -2
-3x = -4
x = 1,3
Langkah ke-4 : Cari nilai dari y yang memasukkan nilai dari x = 1,3
y = 2 + 3x – x2
y = 2 + 2(1,3) – (1,3)2
y = 2 + 2,6 – 1.69
y = 2.91
Sekarang kita sudah mempunyai titik singgung (1.3,2.91)
Langkah ke-4: Persamaan dari garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 2.91 = -2(x – 1.3)
y = -2x + 5.51
Soal Nomer 4
Carilah sebuah persamaan dari garis singgung di kurva y = x2 – x + 3 pada titik yang berordinat pada 5 ?
Pembahasan
Ordinat itu yakni sumbu -y, jadinya nilai y = 5
Langkah ke-1 : Cari titik pada singgung dengan cara memasukkan nilai y yakni 5
y = x2 – x + 3
5 = x2 – x + 3
x2 – x + 3 – 5 = 0
x2 – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi ada dua titik singgung yakni : (2,5) ataupun (-1,5)
Langkah ke-2: Carilah nilai dari gradien
Nilai gradien bagi x = 2
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(2) = 2(2) – 1
m = 3
Nilai gradien bagi nilai x = -1
f(x) = x2 – x + 3
f'(x) = 2x – 1
m = f'(-1) = 2(-1) – 1
m = -3
Langkah ke-3: Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
Dikarenakan kita mempunyai dua titik singgung, yang tentunya akan terdapat dua persamaan pada garis singgung
Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (2,5) dan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = 3(x – 2)
y = 3x – 6 + 5
y = 3x – 1
Persamaan dari garis singgungnya bagi titik (-1,5) dan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = -3(x – (-1))
y – 5 = -3x – 3
y = -3x + 2
Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 ataupun
y = -3x + 2
Soal Nomer 5
Tentukanlah persamaan dari garis singgung pada kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 apabila gradien garis singgungnya yakni 4 ?
Pembahasan
Langkah ke-1: Carilah titik singgung pada f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 10
f'(x) = 3x2 – 6x – 5
m = f'(x)
4 = 3x2 – 6x – 5
3x2 – 6x – 9 = 0 (lalu bagi dengan 3)
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 ataupun x = -2
Bagi x = 3
y = x3 – 3x2 – 5x + 10
y = 33 – 3(3)2 – 5(3) + 10
y = 27 -27 – 15 + 10
y = -5
Jadi Titik singgung yang pertama (3,-5)
Bagi x = -2
y = x3 – 3x2 – 5x + 10
y = (-2)3 – 3(-2)2 – 5(-2) + 10
y = -8 – 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung yang kedua (-2,0)
Langkah ke-2: Menentukan sebuah persamaan dari garis singgung
bagi titik singgung yang pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17
Bagi titik singgung yang kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8
Jadi terdapat dua persamaan garis singgung yakni :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8
Soal Nomer 6
Tentukanlah sebuah persamaan pada garis singgung di kurva y = 3 – x2 secara tegak lurus kepada garis 4y = x + 1 ?
Pembahasan
Langkah ke-1 : Cari lah nilai m1
y = 3 – x2
m1 = f'(x) = -2x
m1 = -2x
Langkah ke-2 : Cari lah nilai m2
4y = x + 1
y = 1 4 x + 1 4
m2 = 1 4 (Ingat ya!! Apabila y = ax + b ⇒ m = a)
Langkah ke-3 : Cari lah nilai x
Dikarenakan kedua garis yang tegak lurus maka berlakunya :
m1 . m2 = -1
m1 . 1 4 = -1
m1 = -4
Masukkan lah nilai m1 didalam persamaan pada langkah ke-1 :
m1 = -2x
-4 = -2x
x = 2
Langkah ke-4 : Carilah nilai y dengan cara memasukkan nilai yakni x = 2
y = 3 – x2
y = 3 – 22
y = 3 – 4
y = -1
Jadi, titik singgungnya yakni: (2,-1)
Langkah ke-5 : Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – (-1) = -4(x – 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7
Jadi, persamaan pada garis singgungnya yaitu y = -4x + 7
Soal Nomer 7
Tentukanlah Sebuah Persamaan garis singgungnya pada kurva y = 2x – 3x2 pada titik menggunakan absis 2
Pembahasan
Absis itu merupakan sumbu-x, jadinya x =2:
Langkah ke-1 : Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2
y = 2x – 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadinya titik singgung : (2, −8)
Langkah ke-2: Carilah nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f ‘(x) = 2 − 6x
m = f ‘(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10
Jadinya, persamaan pada garis singgungnya ialah
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12
Soal Nomer 8
Tentukanlah Sebuah Persamaan pada garis singgung pada kurva y = x2 pada titik berabsis yakni -2
Pembahasan
Absis itu ialah pada sumbu-x, jadinya x = -2:
Langkah ke-1 : Carilah titik singgung dengan cara memasukkannya pada nilai x = -2
y = x2
y = (-2)2
y = 4
Jadinya titik singgung yakni : (-2, 4)
Langkah ke-2: Carilah nilai gradiennya
f(x) = x2
f ‘(x) = 2x
m = f ‘(-2) = 2(-2)
m = -4
Jadinya, persamaan dari garis singgungnya yakni
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2))
y – 4 = -4x – 8
y = -4x – 4
CONTOH PERSAMAAN GARIS NORMAL
Contoh Soal 1 :
Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x2 — x + 7 di titik yang berabsis 2
Jawab :
x = 2 maka y = 22 — 2 + 7 = 4 — 2 + 7 = 9
Jadi titik singgungnya adalah (2, 9)
Titik yang dilalui garis normal adalah juga (2, 9)
Langkah selanjutnya kita cari gradien garis singgung
m = y’ = 2x — 1
= 2.2 — 1 = 3
Gradien garis singgung m1 = 3
Gradien garis normal m2
Karena gris singgung tegak lurus garisn normal maka
m1.m2 = –1
3m2 = — 1
m2 = –⅓
maka persamaan garis normalnya adalah
y — y1 = m2(x — x1)
y — 9 = –⅓(x — 2)
3y — 27 = — x + 2
x + 3y = 29
Contoh Soal 2 :
Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x3 — 20 di titik yang berordinat 7
Jawab :
y = 7
maka
x3 — 20 = 7
x3 = 27
x = 3
Gradien garis singgung
m1 = y’ = 3x2 = 3.32 = 27
maka
m1.m2 = — 1
27m2 = — 1
m2 = — 1/27
maka persamaan garis normalnya adalah
y — y1 = m2(x — x1)
y — 7 = — 1/27 (x — 3)
27y — 189 = — x + 3
x + 27y = 192
Contoh Soal 3 :
Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x4 + 8 yang bergradien — ¼
Jawab :
m2 = –¼
maka
m1.m2 = — 1
m1 (–¼) = — 1
m1 = 4
y’ = 4
4x3 = 4
x3 = 1
x = 1
y = x4 + 8 = 14 + 8 = 9
y — y1 = m2(x — x1)
y — 9 = –¼ (x — 1)
4y — 36 = — x + 1
x + 4y = 37
dan melalui A(x1,y1)
