NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 Rahmat Abadan Gasalba (29) XI IPS 2

NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

MATERI

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0.$

Fungsi y = f(x) dikatakan naik pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂).

Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) > f(x₂).

secara geometris turunan pertama pada suatu titik tertentu dapat ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva pada titik tersebut. Jika garis singgung condong ke kanan maka gradiennya akan bernilai positif atau ƒ′(x₀) > 0 sedangkan jika garis singgung condong ke kiri maka gradiennya akan bernilai negatif atau ƒ′(x₀) < 0  

Perhatikan bahwa jika fungsi naik, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kanan, dan jika fungsi turun, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kiri.

 

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$ turun pada saat $a<x<b$.

 

CONTOH SOAL

1. Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

$\mathrm{pembahasan:}$$\mathrm{Diketahui\; g(x)=2x3-9x2+12x,\; sehingga\; turunan\; pertamanya\; adalah\; g\prime (x)=6x2-18x+12.\; Kurva\; g(x)\; selalu\; naik\; jika\; diberi\; syarat\; g\prime (x)>0.\; 6x2-18x+12>0Kedua\; ruas\; dibagi dengan 6x2-3x+2>0(x-2)(x-1)>0\therefore x<1 atau x>2\; Jadi,\; interval\; x\; yang\; membuat\; kurva\; fungsi\; g(x)\; selalu\; naik\; adalah\; x<1 atau x>2\; (Jawaban\; C).}$

$2.$Nilai-nilai $x$ dari fungsi $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{x^2+3}{x-1}$

. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$, sehingga
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ =\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{(x-3)(x+1}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}<0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{cc}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$-1<x<1\text{atau}1<x<3$
(Jawaban D).

3. Interval x yangmembuat kurva fungsi f(x)=x3−6x2+9x+2 selalu turun adalah 

Diketahui 

f(x)=x3−6x2+9x+2, sehingga turunan pertamanya adalah 

f′(x)=3x2−12x+9.

Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f′(x)<0.

3x2−12x+9<0

Kedua ruas dibagi dengan 3

x2−4x+3<0

(x−3)(x−1)<0

∴1<x<3

Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi 

f(x) selalu turun adalah 1<x<3

4. Grafik fungsi 

p(x)=x(6−x)2tidak pernah turun dalam interval 

Diketahui 

p(x)=x(6−x)2. Turunan pertama p(x)dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).

p(x)=x(6−x)2

=x(36−12x+x2)

=36x−12x2+x3

p′(x)=36−24x+3x2

Grafik fungsi 

p(x)tidak pernah turun jika diberi syarat p′(x)≥0.

36−24x+3x2≥0 Keduaruas dibagi dengan 

3x2−8x+12≥0

(x−2)(x−6)≥0

∴x≤2ataux≥6

Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi p(x) tidak pernah turun adalah x ≤ 2 dan x ≥ 6 

Nilai stasioner 

aDlam hal khusus, apabila f'(x₀) = 0 maka f(x) disebut stasioner di titik = x = x₀, nilai f(x₀) karena hal tersebut disebut nilai stasioner f(x) pada x = x₀, dan titik (x₀, f(x₀)) disebut titik stasioner.

Contoh soal :

 f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6

Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :

f '(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1.

f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2

5.Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

Pembahasan

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$
(Jawaban A)