BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA
Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
Keterangan:
b = beda;
Un= suku ke-n;
Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.
1. Bentuk barisan aritmetika
Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.
Keterangan:
Un+1= suku ke-(n +1);
Un = suku ke-n; dan
b = beda atau selisih.
Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:
U1, U2, U3, …, Un-2, Un-1, Un
a, a+b, a+2b, …, a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b
Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan
sebagai berikut.
Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.
Keterangan:
b’= beda barisan aritmetika baru;
b= beda barisan aritmetika lama;
k= banyak bilangan yang disisipkan;
n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan
n= banyak suku barisan aritmetika lama.
Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.
2. Suku ke-n barisan aritmetika
Saat Quipperian diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? Kebayang kan betapa rumitnya? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.
Keterangan:
a = suku awal (U1);
Un= suku ke-n; dan
b = beda atau selisih.
3. Suku tengah barisan aritmetika
Jika Quipperian menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmetika tersebut memiliki suku tengah (Ut). Secara matematis, Ut dirumuskan sebagai berikut.
4. Sisipan bilangan pada barisan aritmetika
Misalkan Quipperian menjumpai barisan aritemtika dengan beda b. Lalu, barisan aritmetika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmetika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan aritmetika yang baru? Daripada pusing-pusing, gunakan persamaan berikut.
Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.
Deret Aritmetika
Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika.
Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.
Substitusikan Un=a+(n-1) b, sehingga diperoleh:
Misalkan Sn-1= U1 +U2+ U3+ … +Un-1 dan Sn=U1+U2+ U3+…+Un-1+Un. Ini berarti, hubungan antara Sn-1 dan Un adalah sebagai berikut.
Contoh Soal
CONTOH SOAL 1
Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!
Pembahasan:
Diketahui:
a = 2
b = 6 – 2 = 4
Ditanya: U20 =…?
Pembahasan:
CONTOH SOAL 2
Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!
Diketahui:
Ut = 15
n = 11
Ditanya: Un =…?
Pembahasan:
Pertama, kamu harus mencari nilai t.
Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U6 = 15.
Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.
Substitusikan nilai b ke persamaan (1).
Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.
Jadi, suku terakhirnya adalah 60.
CONTOH SOAL 3Berapakah jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100?
Pembahasan:
Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah sebagai berikut.
Keterangan:
a = 12
banyaknya suku = 30
Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah 1.665.
CONTOH SOAL 4
Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.
CONTOH SOAL 5
Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
Penyelesaian:
a = 3
b = 4
CONTOH SOAL 6
Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …
Pembahasan:
Diketahui
Ditanya:
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan
dan
.
Sebelumnya mari ingat lagi bahwa sehingga
dan
dapat ditulis menjadi
. . .(i)
. . .(ii)
Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.
a + 2b = 24
a + 5b = 36 –
-3b = -12
b = 4
Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).
a + 2b = 24
a + 2 . 4 = 24
a + 8 = 24
a= 24 – 8
a = 16
Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari
Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.
CONTOH SOAL7
Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 2
b = 2
Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?
Jawab:
Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah
