Pengertian, macam-macam, Operasi, dan Contoh soal Matrik

Nama : Rahmat Abadan Gasalba

Kelas : XI IPS 2

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sebuah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,

B, C, D, ..., dan seterusnya.

B. Jenis-jenis Matriks

Matriks memilik banyak jenis yang dapat dibedakan dengan ordo dan elemen-elemennya. Jenis matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris.

Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh :

2. Matriks kolom.

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :

3. Matriks persegi.

Matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Contoh :

4. Matriks nol.

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

5. Matriks identitas.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Contoh :

6. Matriks Skalar.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh :

7. Matriks diagonal.

Matriks persegi memiliki elemen di luar diagonal utama yang bernilai nol. Contoh :

8. Matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Contoh :

9. Matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang elemen diagonal atas bernilai nol. Contoh :

10. Transpos matriks A atau (A t).

Matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

Misalnya, jika matriks A

maka matriks transpos dari A adalah :

C. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

•Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

•Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika 

maka

(a). A + B

(b). 2A - 3B

(c). 2At + Bt

Jawab :

(a)

(b)

(c)

D. Contoh soal mantrik

1. Jika diketahui persamaan metrik !

Pembahasannya :

Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak akan sama pula, sehingga berlaku:

2x + 1 = 3

2x = 2

x = 1

y + 12 = 15

y = 3

x + y = 1 + 3 = 4

2. Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

Pembahasannya:

det A = 4 det B 

4 x (16 x ) – (-16) = 4 (108 – (-152)) 

4 x (4 2x ) + 16 = 4 (260) 

4 3x = 4 (260) – 16 

4 3x = 4 (260) – 4 (4) 

4 3x = 4 (260 – 4) 

4 3x = 4 (256) 

4 3x = 4. 4 4

4 3x = 4 5

3x = 5 

x = 5/3

3. Jumlah dan selisih kedua vektor masing-masing adalah:

Jadi jawabannya adalah 60°

4. . Tentukan nilai x, y, dan z berikut ini, jika :

Penyelesaian :

Maka :

z = 1 ………………………………….……..(1)

–2y – 4x = –10

y + 2x = 5

y = 5 – 2x ..…………………………. (2)

6y + 2x = 3x + 4

6y + 2x – 3x = 4

6y – x = 4 …………………………… (3)

(2) akan disubtitusikan ke (3), sehingga menjadi :

6(5 – 2x) – x = 4

30 – 12x – x = 4

–13x = –26 maka x = 2

y = 5 – 2(2) = 1

z = 1

5. Jika diketahui persamaan matrik a, b, dan c sebagai berkiut :

Bila At ialah gambaran dari rumusan matriks A dan At . B = C, maka tentukan nilai dari 2x + y = ….

Pembahasannya:

Jika didapat rumusan matriks ordo 2×2 maka :Jika A’ adalah transpose matriks A dan AX = B + A’ maka determinan matriks x adalah …

6. Diketahui matriks

 A =

 dan B =

Pembahasan:

Daftar pustaka:

https://tanya-tanya.com/rangkuman-contoh-soal-pembahasan-matriks

https://majalahpendidikan.com/soal-matriks-kelas-11/https://rumus.co.id/contoh-soal-matriks/#Contoh_Soal_Matriks_Beserta_Pembahasannya

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Nama : Rahmat Abadan Gasalba

Kelas  : XI IPS 2

Soal: 

Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak?

Ditanya:

Buat Pertidaksamaannya dulu baru table setelah itu daerah kotor dan daerah bersihnya, himpunan penyelesaian , titik pojok untuk menentukan nilai optimalnya dan laba Dewi dari nilai tertinggi yang diperoleh.

Pembahasan:

Dik :

Model 1 = kain polos 1m dan kain bergaris 1,5m

Model 2 = kain polos 2m dan kain bergaris 0,5m

Persediaan = kain polos 20 dan kain bergaris 10

Laba = model 1 tidak kurang dari Rp.15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

Dit : laba yang diperoleh....

Jawaban :

Kita misalkan :

Model 1 : x

Model 2 : y

Selanjutnya kita buat menjadi tabel agar mempermudah pembacaan.

Kita buat kain polos menjadi persamaan, yaitu dengan ( model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain polos yaitu

1x + 2y = 20.......(kain polos)

Kita buat juga untuk kain bergaris menjadi persamaan, yaitu dengan (model 1 + model 2 = persediaan) jadi persamaan untuk kain bergaris yaitu

1,5x + 0,5y = 10.....(kain bergaris)

Untuk langkah selanjutnya, persamaan kain polos dan bergaris kita substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.

Dari hasil eliminasi persamaan kain polos dan kain bergaris ditemukan hasil x=4, selanjutnya mari kita substitusi x ke persamaan kain polos.

Setelah ditemukan nilai x=4 dan  nilai y=8, langkah selanjutnya yaitu menentukan laba. Seperti yang dijelaskan di soal. Model 1 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan untuk model 2 mendapatkan laba tidak kurang dari Rp. 10.000,00. Sehingga menjadi sebuah [laba = laba model 1 (x) + laba model 2 (y)]. Atau dalam penulisan angka dapat dituliiskan seperti diawah ini.

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah kita temukan dengan cara substitusi dan elimanasi persamaan kainpolos dan kain bergaris. Selnajutnya kita tinggal memasukkan nilai x dan y kedalam Laba = 15.000x + 10.000y.

jadi, laba yang didapatkan oleh dewi yaitu sebesar Rp. 140.000,00

GAMBAR DAERAH BERSIH ATAU DAERAH KOTOR PROGRAM LINEAR

GAMBAR DAERAH BERSIH ATAU DAERAH KOTOR PROGRAM LINEAR

Nama : Rahmat Abadan Gasalba (28)
Kelas : XI IPS 2

Gambar daerah bersih dan daerah kotor dari pertidak samaan 3x + 2y  12, 5x + 3y < 19, x  0, y > 0 dan simpulkan himpunan penyelesaiannya !

3x + 2y  12
x = 0 ➡ 3.0 + 2y = 12
                          2y = 12
                             y = 6
(0,6)
y = 0 ➡ 3x + 2.0 = 12
                        3x   = 12
                           x   = 4
(4,0)

5x + 3y < 19
x = 0 ➡ 5.0 + 3y = 19
                           3y = 19
                             y = 6,3
(0, 6,3)
y = 0 ➡ 5x + 3.0 = 19
                          5x  = 19
                            x  = 3,8
(3,8, 0)

x  0

y > 0

Gambar Daerah Kotor

Gambar Daerah Bersih

Kesimpulan : 

Kalau daerah kotor, maka himpunan penyelesaian adalah daerah yang mengalami banyak arsiran, sedangkan bila menggunakan daerah bersih maka daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak terkena arsiran.

Daftar Pustaka

https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/25/program-linear-menggambar-daerah-penyelesaian-sistem-pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

https://googebra.blogspot.com/2016/12/menentukan-daerah-penyelesaian-sistem.html?m=1

TUGAS TRIGONOMETRI

Tugas trigonometri

Assalamualaikum wr wb, kali ini saya Rahmat Abadan Gasalba akan memberikan beberapa soal beserta pembahasan tentang relasi dan fungsi.

1. Jika ( 2x - y, x + y ) = ( x + 5, 4y - 3 ) maka nilai x sama dengan...

Pembahasan:

Jika (2x-y,x+y)=(x+5,4y-3) 

(1)2x-y=x+5

     x=y+5

(2)x+y=4y-3

    y+5+y=4y-3

    2y+5=4y-3

     8=2y

     4=y

(3)x=4+5

    x=9

2. Jika pasangan berurutan (3, x) = (2x, y) maka nilai y =...

Pembahasan:

3=2x 

x = 3/2 atau 1,5 

x = y = 1,5

3. Jika f ( x - 3 ) = 4x + 1 maka f(2)=...

Pembahasan:

F(x) = ax+c

a = 4/1 = 4

c = 1-(4.-3)

   = 1+12

   = 13

f(x) = 4x+13

f(2) = 4.2+13= 21

4. Misal f(2) = 4 dan f( x + 3 ) = f(x) + 5 maka f(8) =...

Pembahasan:

F(x+3) = f(x) + 5

f(2+3) = f(2) + 5

f(5) = 4 + 5

f(5) = 9

f(x + 3) = f(x) + 5

f(5 + 3) = f(5) + 5

f(8) = 9 + 5

f(8) = 14

5. Diketahui fungsi f(x) = 3x + 4. Nilai dari f(5) =...

Pembahasan:

F(x) = 3x + 4

F(5) = 3(5) + 4

        = 15 + 4

        = 19

6. Sebuah parabola memotong sumbu x di (1, 0) dan (5, 0), dan memotong sumbu y di (0, 5). Titik baik parabola adalah...

Pembahasan:

X1 = 1

x2 = 5

melalui x = 0 dan y = 5

persamaan parabola

y = a (x-x1)(x-x2)

5 = a (0-1)(0-5)

5 = a(5)

a = 5/5

a = 1

persamaan parabola

y= 1 (x-1)(x-5)

y = x² - 6x + 5

sumbu simetri = x = -b/2a = - (-6)/2.1 = 3

Nilai y = 3² -6.3 + 5 = -4

Titik balik (3,-4)

7. Nilai p agar grafik fungsi kuadrat y = px2 + px + 1 menyinggung sumbu x adalah...

Pembahasan:

Menyinggung sumbu x artinya b²-4ac=0

a=p, b=p dan c=1

p²-4p=0

p(p-4)=0

p=0 atau p =4

karena p≠0 maka p=4

8. Sepotong kawat yang panjangnya 56cm dibengkokkan membentuk persegu panjang yang luasnya 171 cm2. Panjang persegi panjangnya=...

Pembahasan:

P = panjang persegi panjang 

l = lebar persegi panjang 

k = keliling persegi panjang 

L = luas persegi panjang 

k = 56 

2(p + l) = 56 

p + l = 56 : 2

p + l = 28

p = 28 - l 

L = 171

p.l = 171 

(28 - l)l = 171

28l - l² = 171

l² - 28l + 171 = 0

(l - 9)(l - 19) = 0 

l = 9 cm atau l = 19 cm 

p = 28 - 9 atau p = 28 - 19

p = 19cm atau p = 9 cm

9. Sisi sisi segitiga siku siku berbanding sebagai 3:4:5. Jika luas segitiga sama dengan 12 maka panjang sisi hipotenusa=...

Pembahasan:

A:b:c = 3:4:5

c= sisi hipotenusa

L=12

  =1/2at

  =1//2 x 3y x 4y

  = 6y

6y=12

  y=2

hipo tenusa = 5y = 5(2) = 10 satuan

10. Jika f(x) = 3x + 1 makaa [f(x)]2 - f(x2) - 2f(x) =...

Pembahasan :

F(x)= 3x + 1

[F(x)]2= (3x + 1)2= 9x^2 + 6x + 1

F(x2)= 3x^2 + 1

2[f(x)]= 6x + 2

[F(x)]2- f(x^2) - 2f(x) = 9x^2 + 6x + 1 - (3x^2 + 1) - (6x + 2)

                                    = 9x^2+1-3x^2-1-2

                                    = 6x^2-2

11. Jika f(x) = 5x + 1 dan g(x-1) = x^2 maka ( f o g )(2)=...

Pembahasan:

komposisi fungsi

fog(x)= f { g(x)}

Penjelasan dengan langkah-langkah:

f(x)  = 5x+ 1

g(x -1) = x² --> g(x)= ( x+ 1)²

(fog)(2) = f { g(2)}

(fog)(2) = f {3²}

(fog)(2) = 5(3²) + 1

(fog)(2) = 46

12. Jika f(x) = 1 + x dan g(x) = x-3/x+3 maka (g o f)(2)=...

Pembahasan:

gof(x)=g(f(x))

gof(x)=g(1+x)/g(1+x)

gof(x)=1+x-3/1+x+3

gof(x)=x-2/x+4

gof(2x)= 2x-2/2x+4

13. Diketahui fungsi f(x)=x+1 /x-3 , x # 3 dengan g(x) = x'2 +x+1 .Nilai kompisisi fungsi (g o f) (2) adalah...

14. Invers fungsi f(x) = 2x + 6 adalah f^-1(x) adalah...

Pembahasan:

Kalo f(x) = ax + b

f^-1 (x) = (x-b)/a

f(x) = 2x + 6

f^-1(x) = (x-6)/2 

f^-1(x) = 1/2x - 3

15. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=2x-3,dan f-1 adalah fungsi invers dari f.nilai f-1 (-2)=

Pembahasan:

f(x) = 2x-3

y = 2x-3

2x = y+3

x = (y+3)/2

f-¹(x) = (x+3)/2

maka, 

f-¹(-2) = (-2+3)/2

f-¹(-2) = 1/2

16. Jika f (x)= 2x-5/x-4 maka f-1 (x)=...

17. F(x) = 5x³ maka f-1(4)=...

Pembahasan:

F(x)=5x^3

Y= 5x^3

Y/5= x^3

f^-1(4) = kubik akar 4/5

18. Diketahui fungsi f dengan rumus f(x)=5x+3 dan f`¹ adalah fungsi invers dari f.nilai dari f`1 (-2) =...

Pembahasan:

Invers dari fungsi adalah mengubah bentuk y=f(x) menjadi x=f(y)

y=5x+4

y-4=5x

x= (y-4)/5

jadi f invers = (x-4)/5

f`(-2)=( -2-4)/5 = -6/5

19. diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3, x tidaksama 3 ,dan g(x) =x²+x+1.tentukan nilai komposisi fungsi (gof)(2)!

Pembahasan:

(g • f)(2) = g(f(2))

f(2)

= (2 + 1)/(2 - 3)

= 3/-1

= -3

g(f(2)

= g(-3)

= (-3)^2 - 3 + 1

= 9 - 3 + 1

= 7

20. Diketahui fungsi f(x) =x+1/x-3,x sama dengan 3 dan g(x) =x^2+x+1. nilai komposisi fungsi (gof)(2)=…

Pembahasan:

F(x)= x+1/x-3

g(x)= x^2+x+1

gof(x)= (x+1/x-3)^2+ (x+1/x-3) +1

= (x^2+2x+1/x^2-6x+9) + (x+1/x-3) + 1

= (x^2-2x +1/x^2-6x+9) + (x+1 +x-3/x-3)

=(x^2-2x + 1/x^2 -6x +9) +(2x-2/x-3)

= (x^2 -2x + 1) + (2x^2-8x-6)/ x^2-6x+9

= 3x^2-10x-5/x^2-6x+9

gof(2)= 3(2)^2 -10(2) -5/2^2-6(2)+9

= (3*4-20-5) / (4-12+9)

= 12-25 / 1

=-13

Semoga bermanfaat 🙏

LATIHAN PROGRAM LINEAR

LATIHAN PROGRAM LINEAR

Nama: Rahmat Abadan Gasalba

No absen: 28

Kelas: XI IPS 2

DARI PERTIDAKSAMAAN 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y < 19, x ≥ 0 y ≥ 0

pembahasan;

1. 3x + 2y ≤ 12      

  2. 5x + 3y < 19

Jika digambarkannya grafik nya seperti ini

Berat bersih

Berat kotor

 uji coba titik pada (0,0)

1. 3x + 2y      ≤  12       

    3(0) + 2(0) ≤  12

            0         ≤  12 (benar)      

 2. 5x + 3y      < 19

    5(0) + 3(0)  < 19

            0          < 19 (benar)

JADI HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI PERTIDAKSAMAAN 3x + 2y ≤ 12, 5x + 3y < 19, x ≥ 0  y ≥ 0 ADALAH DAERAH YANG DIARSIR PADA  DAERAH BERSIH.

Note:  1.  jika uji coba titik benar maka arsiran ke arah bawah atau kanan jika uji coba titik salah maka arsiran ke atas atau kanan.

             2.  Jika x ≥ 0 dan y ≥ 0 berarti arsiran keatas atau kekanan

             3.  JIka tanda > atau < maka garis putus-putus

FOTO TUGAS DIBUKU

daftar pustaka

https://youtu.be/Z.Z38OSx0whw

PROGRAM LINEAR

PROGRAM LINEAR

Rahmat Abadan Gasalba

28

XI IPS 2

Berikut penjelasan program linear dari saya, semoga membantu.

                  PROGRAM LINEAR

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

     MODEL MATEMATIKA PROGRAM                                  LINEAR

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
  • Menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
  • 
    

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
• 
  
  

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7

Pembahasan 1:

• Langkah 1 menggambar grafiknya

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
•  dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg

Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….

A.     Rp2.000.000,00
B.     Rp2.300.000,00
C.     Rp2.200.000,00
D.     Rp2.100.000,00
E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan:

Pemisalan:

• x = banyak payung A
• y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y

Fungsi kendala:

• x ≥ 40
• y ≥ 50
• x + y ≤ 100

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).

Sehingga, biaya produksi minimum adalah

f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50)
f(40,50) = 800.000 + 1.500.000
f(40,50) = 2.300.000

DAFTAR PUSTAKA:

https://www.studiobelajar.com/program-linear/

https://idschool.net/sma/contoh-soal-dan-pembahasan-program-linear-matematika-sma/

Oke, sekian dulu pembahasan mengenai contoh soal program linear dan pembahasannya. Semoga bermanfaat, terimakasih