SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 1. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

ANS: E. 150 hari

Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

 

2. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah…
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160

ANS: D. 150

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ‘ (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.

3. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (4x2−8x+24) ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ⋯⋅
A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

ANS: 
B. Rp32.000,00

Misalkan $f\left(x\right)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.

4.Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$

 ANS: 
C. $150$ 

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$ agar biaya proyeknya minimum.

5. Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$

       ANS: C. $230$

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$

6. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$

       ANS:
C. $10$

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$

Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$

7. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$

   ANS: D. $720$

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$

. 

Turunan pertama fungsi $h$ adalah

$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$

Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis

$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$

Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu

$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 

Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$

 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA
https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/

 

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

 Rahmat Abadan Gasalba (29) XI IPS 2

Assalamualaikum, kembali lagi di laman blog saya.kali ini kita akan belajar tentang PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA. ayo kita semangat dalam belajar!.

Kemonotonan

Definisi Kemonotonan Misalkan 𝑓 terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan bahwa : 

1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

    dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) 

2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

    dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) 

3. 𝑓 monoton pada I jika 𝑓 naik atau turun pada I.

Teorema Kemonotonan 

Misalkan 𝑓 kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I, 

1. Jika 𝑓’(𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 naik pada I. 

2. Jika 𝑓’(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 turun pada I. 

Contoh 1 Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 – 3𝑥 2 – 12𝑥 + 7

tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun! 

Penyelesaian: 

Berdasarkan teorema A (teorema kemonotonan), maka perlu dicari 𝑓′(𝑥), yaitu 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 6(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 

Untuk menentukan dimana 𝑓′(𝑥) > 0 dan dimana 𝑓′(𝑥) < 0, misalkan 𝑓′(𝑥) = 0, 

sehingga 6𝑥 2– 6𝑥– 12 = 0 atau 6(𝑥 + 1)(𝑥– 2) = 0 , 

dengan demikian diperoleh titik pemecah 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2 

yang akan membagi garis bilangan real menjadi tiga interval yaitu (−∞, −1), (−1, 2) dan (2, ∞).

Fungsi Naik dan Turun

Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.

---

Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

---

Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

---

Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

---

Pembuktian

Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

 

 

CONTOH SOAL

1. Jika f(x) = x² − 6x + 8, tentukan interval f(x) naik dan interval f(x) turun!

Jawab :
f '(x) = 2x − 6

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔  2x − 6 > 0
⇔  2x > 6
⇔  x > 3

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔  2x − 6 < 0
⇔  2x < 6
⇔  x < 3

Jadi f(x) naik pada interval x > 3 dan turun pada interval x < 3.

2. Fungsi f(x) = 2x³ − 3x² − 36x naik pada interval ...

Pembahasan :
f '(x) = 6x² − 6x − 36

f(x) naik  ⇒ f '(x) > 0
⇔  6x² − 6x − 36 > 0

Pembuat nol :
6x² − 6x − 36 = 0
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2  atau x = 3

Jadi f(x) naik pada interval x < −2 atau x > 3

3.
Tentukan ekstrim lokal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Titik	(–1, –2)	(0, 0)	(1, 2)
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(0) = 0	f ”(1) < 0
Kesimpulan	Minimum lokal	Uji gagal	Maksimum lokal

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

DAFTAR PUSTAKA

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

https://iqbalzazuli.wordpress.com/2016/04/25/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

https://www.ilmusosial.id/2020/06/soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-fungsi.html

 

KEINDAHAN ALAM INDONESIA

 

Assalamualaikum, saya Rahmat Abadan Gasalba (29)

saya akan memberitahu kalian sema bahwa Indonesia memiliki alam yang sangat indah. disini saya akan menjelaskan lebih rinci tentang keindahan alam Indonesia yang paling saya sukai yaitu Pantai Losari.

Siapa yang tidak pernah dengar dengan nama pantai Losari. jika kalian tidak tau, maka kalian harus segera tau. karena Pantai Losari ini sangat indah apalagi saat matahari terbenam, kalau tidak percaya ini saya tunjukkin fotonya.

 

 

Pantai Losari ini terletak di sebelah barat Kota Makassar, Provinsi Sulawesi Selatan, Indonesia. Saya sudah pernah dua kali mengunjungi pantai Losari, desir pantai yang sangat menenangkan, air laut yang menyegarkan dan suasana pantai yang menggembirakan. Menurut saya pribadi waktu yang paling tepat adalah saat sunset, disana juga terdapat banyak makanan yang bisa kita santap sambil menikmati pemandangan nya. makanan yang terkenal disana adalah Pisang epe, rasanya yang enak dan manis itu karena memakai pisang pilihan dan topping yang berlimpah apalagi makan bareng keluarga. wah itu adalah situasi yang paling menyenangkan dan paling saya sukai.

Tapi banyak loh keindahan alam Indonesia yang lainnya. saya juga ingin mengunjunginya jika ada kesempatan. ini saya tunjukin foto-fotonya.

 

 

Jika kalian masih penasaran dengan pemandangan Indonesia lainnya, saya akan mengasih link di akhir artikel kurang lebihnya mohon maaf saya pamit undur diri . good byeee

sumber foto: https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fwww.nativeindonesia.com%2Fpantai-losari%2F&psig=AOvVaw0RP9EVug_e23fz4hMm-TSd&ust=1614851508798000&source=images&cd=vfe&ved=0CAIQjRxqFwoTCOC-y4Ltk-8CFQAAAAAdAAAAABAD

https://www.idntimes.com/travel/destination/rully-bunga/15-foto-ini-buktikan-keindahan-alam-indonesia-gak-kalah-dengan-luar-negeri/3