Rahmat Abadan

Monday, January 11, 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN CONTOH SOALNYA

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

PENGERTIAN LIMIT

Pada dasarnya limit digunakan untuk menyatakan sesuatu yang yang nilainya mendekati nilai tertentu, seperti tak hingga yang pada dasarnya adalah angka yang sangat besar yang nilainya tidak dapat dipastikan. Limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Jika suatu fungsi tidak terdefinisi untuk titik tertentu, tetapi kita masih bisa mencari nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Dalam dunia matematika, Limit biasa di tuiskan sebagai berikut

Keterangan :

Apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L
Pendekatan x ke a bisa dilihat dari dua sisi yaitu pada sisi kiri dan sisi kanan ataupun dengan kata lain x bisa mendekati dari arah kiri dan arah kanan hingga menghasilkan limit kiri serta limit kanan

Toerema / Pernyataan:

Keterangan :

Fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kananya mempunyai besar nilai yang sama
Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

Bentuk kedua

$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 2(2)^{2}+5=\ 2(4)+5=\ 8+5=\13$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ 2x^{2}+5=\ 13$

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ (-2)^{2}-3(-2)+2=\ 4+6+2=\ 12$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow -2}\ x^{2}-3x+2=\ 12$

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ \frac{1-(1)}{(1)+1}=\ \frac{0}{2}=\ 0$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{1-x}{x+1}=\ 0$

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 2(1)+\frac{3}{1}=\ 2+3=\ 5$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ (2x+\frac{3}{x})=\ 5$

Contoh 6:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ \frac{(0)^{3}}{(0)^{2}-1}=\ \frac{0}{-1}=\ 0$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^{3}}{x^{2}-1}=\ 0$

Contoh 7:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ \frac{(-1)^{2}-2(-1)+1}{(-1)+2}=\frac{1+2+1}{-1+2}=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow -1}\ \frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\ 4$

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{{\color{Red} (x-1)}(x+5)}{{\color{Red} (x-1)}}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+5)=(1)+5=6$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ \frac{x^{2}+4x-5}{x-1}=\ 6$

Contoh 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{{\color{Red} (\sqrt{x}-\sqrt{2})}}$
$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ \sqrt{2}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x}+\sqrt{2}=\ 2\sqrt{2}$

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{5x^{2}+9x-2}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{{\color{Red} (x+2)}(5x-1)}{{\color{Red} (x+2)}}$
$\lim_{x\rightarrow -2}\textup{ }(5x-1)=\textup{ }{5(-2)-1}=-10-2= -11$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow -2}\textup{ }\frac{5x^{2}+9x-2}{x+2}=\textup{ }-11$

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\left ( \frac{x^{2}-3x}{x^{3}+2x^{2}-15x} \right )=\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{{\color{Red} x}(x-3)}{{\color{Red} x}(x^{2}+2x-15)}$
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{(x-3)}{(x^{2}+2x-15)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{{\color{Red} (x-3)}}{{\color{Red} (x-3)}(x+5)}$
$\lim_{x\rightarrow 3}\textup{ }\frac{1}{(x+5)}=\textup{ } \frac{1}{(3)+5}=\textup{ }\frac{1}{8}$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\\lim_{x\rightarrow 3}\left ( \frac{x^{2}-3x}{x^{3}+2x^{2}-15x} \right )=\textup{ }\frac{1}{8}$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}-6x+1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}+7x}{x^{2}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{6x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{7x}{x^{2}}}=\ \lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{7}{x}}$
$\frac{4-\frac{6}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}}{2+\frac{7}{\sim }}=\ \frac{4-0-0}{2+0}=\frac{4}{2}=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\ 2$

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{3}}{x^{2}}-\frac{5x}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}-\frac{7}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x-\frac{5}{x}}{3-\frac{7}{x^{2}}}=\ \frac{4(\sim )-\frac{5}{(\sim )}}{3-\frac{7}{(\sim )^{2}}}=\frac{\sim -0}{3-0}=\frac{\sim }{3}=\sim$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{3}-5x}{3x^{2}-7}=\ \sim$

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{-4x^{2}+x-3}{3x^{3}-5}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}+x-3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}-5}{x^{3}}}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4x^{2}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}-\frac{3}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}}{x^{3}}-\frac{5}{x^{3}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{-4}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{3}}}{{3}-\frac{5}{x^{3}}}=\frac{\frac{-4}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}-\frac{3}{\sim ^{3}}}{{3}-\frac{5}{\sim ^{3}}}=\frac{0+0-0}{3-0}=\frac{0}{3}=0$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{-4x^{2}+x-3}{3x^{3}-5}=\ 0$

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu. Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain. Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk dapat difaktorkan menjadi

Jadi, nilai limit fungsi aljabar tersebut adalah -4

Contoh soal 4

Penyelesaian limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Cara penyelesaian:

DAFTAR PUSTAKA

Sumber :

http://bunyan.co.id/materi-limit-fungsi-aljabar/

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/limit-fungsi-aljabar-matematika-kelas-11/

Sunday, December 6, 2020

Remedial PAS (Transformasi Translasi)

Remedial PAS matematika

Rahmat Abadan Gasalba (29)

SOAL

Diketahui persamaan lingkaran x²+y²=16 tentukan bayangan persamaan lingkaran tersebut jika ditransaksikan t=(-1,3)

Jawaban

x²+y² = 16 ; translasi (-1,3)

translasi hanya menggeser posisi lingkaran, tidak mengubah Luas.
titik pusat lingkaran (x₀,y₀) = (0,0)

(x₀,y₀) → translasi (-1,3) → (x₀-1 , y₀+3)
                            (x₀',y₀') = (-1 , 3)

persamaan lingkaran baru:
       (x-x₀')² + (y-y₀')² = 16
          (x+1)² + (y-3)² = 16
x² + y² + 2x - 6y + 10 = 16
   x² + y² + 2x - 6y - 6 = 0

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Rahmat Abadan Gasalba (29) XI IPS 2

Pengertian Bunga

Bunga adalah selisih antara jumlah nominal uang yang dipinjamkan oleh pemilik modal dengan jumlah yang dikembalikan oleh pemakai modal berdasarkan kesepakatan bersama. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Terdapat dua jenis bunga, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Jenis – Jenis Bunga

Berikut ini adalah jenis – jenis bunga berdasarkan besarnya bunga yang dibayarkan pada setiap periode:

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang dibayar pada setiap periode dengan besaran tetap. Besarnya bunga tunggal dihitung berdasarkan perhitungan modal awal.

Rumus :

Mn = Modal pada akhir periode

M0 = Modal awal

n = periode

b = presentase

Contoh

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Rumus =

Contoh

diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

Bunga Anunitas

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri.

Contoh

Pada tanggal 1 januari bu rani meminjam uang di koperasi sebesar Rp 2.000.000,00. pinjaman itu akan dilunasi dengan 4 kali angsuran. Suku bunga 12% setahun setiap 3 bulan. Tentukan besar anuitasnya

Diket :

M = 2.000.000

i = 12% = 0,12

n = 4

Ditanya : A = ?

Jawab :

𝐴 = 𝑀. 𝑖 /1 − ( 1 + 𝑖) −𝑛

𝐴 = 2.000.000 𝑥 0,12/ 1 − ( 1 + 0,12) −4

𝐴 = 240.000 /1 − ( 1,12) −4

𝐴 = 240.000 /0,36448 = 658472,344

Jadi anuitasnya Rp 658.472,34

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh pertumbuhan yaitu perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear:

$P_n = P_0 (1 + n_b)$

Rumus pertumbuhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat pertumbuhan
$n =$ banyaknya periode pertumbuhan

Contoh:

Banyaknya bakteri pada satu telapak tangan yang kotor meningkat 2% secara eksponensial setiap satu jam sekali. Saat ini, terdapat bakteri sebanyak 150.000 pada sebuah telapak tangan. Hitunglah banyaknya bakteri setelah satu jam kemudian!

Jawab:

$P_0 = 150.000$
$b = 2% = 0.02$
$n = 1$ jam

Banyaknya bakteri setelah satu jam:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$
$P_1 = 150.000 (1 + 0.02)^1$
$P_1 = 150.000 (1.02)^1$
$P_1 = 153.000$ bakteri

Peluruhan

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh dari peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear:

$P_n = P_0 (1 - n_b)$

Rumus peluruhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat peluruhan
$n =$ banyaknya periode peluruhan

Contoh:

Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

$P_0 = 100 gram$
$b = 5% = 0.05$
$n = \frac{24}{6} = 4$

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$
$P_4 = 100 (1 - 0.05)^4$
$P_4 = 100 (0.95)^4$
$P_4 = 100 (0.8145)$
$P_4 = 81.45$

Penyusutan

Penyusutan atau depresiasi adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Penyusutan dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah $M_0$ dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1 - np)$

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut harganya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

$M_n = 100.000.000(1 - 5 \times 0.1) = 50.000.000$

Rahmat Abadan

Monday, January 11, 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN CONTOH SOALNYA

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

PENGERTIAN LIMIT

Toerema / Pernyataan:

1. Cara Substitusi

2. Cara Pemfaktoran

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Penyelesaian limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Sunday, December 6, 2020

Remedial PAS (Transformasi Translasi)

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Jenis – Jenis Bunga

Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Bunga Anunitas

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri.

Pertumbuhan

Peluruhan

Penyusutan

Cara menjaga daya tahan tubuh

Report Abuse