SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

 

Tugas Matematika

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Rahmat Abadan Gasalba (29) XI IPS 2

SIFAT-SIFAT LIMIT

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)
   

    

   CONTOH SOAL SIFAT-SIFAT LIMIT

   1. Contoh sifat lim _x →a c = c

   Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!
   
   
   Jawab :
   Dik :
   a = 2
   c = 7
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :
   lim _x →2 7 = 7
   
   
   Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7
   
   

   2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

   Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!
   
   
   Jawab :
   Dik :
   a = 2
   n = 3
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :
   lim _x →2 x³ = 2³
   lim _x →2 x³ = 8
   
   
   Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8
   
   

   3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

   Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!
   
   
   Jawab :
   Dik :
   a = 2 
   c = 4
   f(x) = ( x + 2 )
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :
   lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))
   lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)
   lim _x →2 4( x + 2 ) = 16
   
   
   Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16
   
   

   4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

   Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!
   
   
   Jawab :
   dik :
   a = 2
   f(x) = x³
   g(x) = x⁴
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :
   lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴
   lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴
   lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16
   lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24
   
   
   Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24
   
   

   5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

   Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!
   
   
   Jawab :
   dik :
   a = 2
   f(x) = x³
   g(x) = x⁴
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :
   lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴
   lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴
   lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16
   lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128
   
   
   Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

    

   6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

   Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!
   
   
   Jawab :
   dik :
   a = 2
   f(x) = x⁴
   g(x) = x³
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :
   lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)
   lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³
   lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8
   lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2
   
   
   Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2
   
   

   7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

   Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!
   
   
   Jawab :
   Dik :
   a = 2
   f(x) = x⁴ + 1
   n = 2
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :
   lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²
   lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²
   lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²
   lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²
   lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289
   
   
   Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289
   
   

   8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

   Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!
   
   
   Jawab :
   Dik :
   a = 2
   f(x) = x⁴
   n = 2
   
   
   Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :
   lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴
   lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴
   lim _x →
   ₂²√x⁴ = ²√¹⁶
   lim _x →2²√x⁴ = 4
   
   

   Kesimpulan 

   Jika ingin lebih mahir dalam mengerjakan soal-soal matematika tentang limit maka kitaharus hafal di luar kepala 8 sifat limit yang sudah dijelaskan di atas.
    
   

   SOAL CERITA

   Soal Cerita 1

   Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.

   Coba kamu modelkan fungsi lintasan lebah tersebut!

   Cobalah kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut.

   Jadi, model fungsi lintasan lebah tersebut berdasarkan gambar di atas adalah:

   dengan a, b, c, m, n bilangan real. Dari ilustrasi, diperoleh data sebagai berikut.

   Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0),

   Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).

   Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).

   Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut. 

   1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0. 

   2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5. 

   3. Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka atau 1 b = -2a.
   

4. Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
   
5. Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
6. Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
7. Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.

      8.  Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.

9. Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
10. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.

Dengan demikian, model fungsi lintasan lebah tersebut adalah:

Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.

Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:

• Untuk t mendekati 1
  lim->1- -5t^2+10t = 5(disubtitusikan)
  lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)
  
  

• Untuk t mendekati 2
  lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
  lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
  berarti dapat dinyatakan lim->2+ 5= lim->2- -5t^2+10t
  sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2

   

  Soal Cerita 2

  Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.

  Alternatif Penyelesaian

  Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.

  Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.

  Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3).

  
  

  SOAL KONSTEKTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

  Soal No. 1
  Tentukan hasil dari:
  
  

  
  Pembahasan
  Limit bentuk
  
  
  
  diperoleh
  
  
  
  

  Soal No. 2
  
  
  
  Pembahasan
  Limit aljabar bentuk
  
  
  
  Substitusikan saja nilai x,
  
  

  Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu.

  Soal No. 3

  Tentukan nilai dari

  
  Pembahasan
  Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja.
  
  
  Soal No. 4

  Tentukan nilai dari

  
  Pembahasan
  Masih menggunakan turunan
  
  
  Soal No. 5

  Nilai

  
  A. −1/4
  B. −1/2
  C. 1
  D. 2
  E. 4
  (Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)
  
  Pembahasan
  Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini

  
  
  Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya
  
  

  Soal No. 6
  Nilai dari
  
  
  
  A. 16
  B. 8
  C. 4
  D. -4
  E. -8
  (Matematika IPS 013)
  
  Pembahasan
  Bentuk 0/0 juga, dengan turunan:
  
  

  atau dengan cara pemfaktoran:

  

  Soal No. 7
  Nilai
  
  
  
  A. − 2/9
  B. −1/8
  C. −2/3
  D. 1
  E. 2
  un matematika 2007
  
  Pembahasan
  Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0.
  Cara Pertama

  Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran:
  
  
  
  Cara Kedua

  dengan turunan:
  
  

  Catatan
  Cara menurunkan
  
  
  Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya

  

  Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari

  

  dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini:
  Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus  dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x² – 7 kalo diturunkan jadinya 2x –  0 atau 2x saja. Jadinya:
  
  
  

  Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya:
  
  
  
  Soal No. 8

  Tentukan nilai dari

  
  Pembahasan
  Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n
  
  
  
  Soal No. 9

  Tentukan nilai dari

  
  Pembahasan
  Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n
  
  
  
  Soal No. 10

  Tentukan nilai dari

  
  Pembahasan
  Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n
  
  
  
  Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat".
  
  
  
  Ini rumus yang nanti digunakan:
  
  
  

   

  
  
  Daftar Pustaka:
  
  https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html 
  
  
  https://passinggrade.co.id/limit-fungsi/#Contoh_limit_fungsi
  
  
  https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/121-limit-fungsi-aljabar