PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Rahmat Abadan (28) XI IPS 2

Ada beberapa cara untuk membuktikan dalam matematika yaitu:

A. Pembuktian Langsung

B. Pembuktian tidak langsung. 

1) kontraposisi (Tidak Langsung)

2)Kontradiksi (Tidak Langsung)

C. Induksi

Berikut penjelasannya.

           A. PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan.

Coba deh kamu buktikan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Coba perhatikan deh gambar di bawah.

Jadi pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan.

Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan. Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang.

Contoh soal dan pembahasan pembuktian langsung

Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil”.

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

     dengan k bilangan bulat

     sehingga  n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

     Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

     Jadi n² bilangan ganjil

     B. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG

Pembuktian Tidak langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

1) Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh soal dan pembahasan pembuktian langsung

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

            kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

2) Kontradiksi

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung, Squad. Kita memanfaatkan logika matematika

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.

“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”

Nah kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil.

Contoh soal dan pembahasan pembuktian langsung

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

                       C. INDUKSI

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Sekian materi yang bisa saya sampaikan, semoga bermanfaat.

Daftar pustaka: http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

LOGIKA MATEMATIKA

INDUKSI

MATERI YANG DIPELAJARI INDUKSI MATEMATIKA
1. Logika matematika: pernyataan/kalimat, ingkaran/negasi, pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, bi implikasi), ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk, konvers, implikasi (konvers, invers, kontraposisi), pernyataan berkuantor dan ingkarannya, penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme), table logika matematika 
2.  Pembuktian Barisan dengan metode: langsung, tak langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika
3.  Membuktikan ketidaksamaan/ pertidaksamaan dengan cara langsung, tak langsung, kontradiksi, induksi matematika
4.  Membuktikan keterbagian dengan cara langsung, tak langsung, kontradiksi, induksi matematika

Matematika merupakan ilmu yang memiliki cakupan yang sangat luas. Matematika bukan hanya mempelajari angka dan perhitungan saja. Namun, terdapat hal-hal yang dipelajari dalam matematika selain hitung-menghitung, salah satunya adalah logika matematika.

Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan. Yuk, simak ulasannya di bawah ini.

Pernyataan

Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.

Contoh:

8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)

4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)

5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)

Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif).

Ingkaran/Negasi (~)

Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

p	~p
B	S
S	B

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

• Konjungsi (∧)

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah makan belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

• Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

• Implikasi (⟹)

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p⇒q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

• Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

p	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

SOAL-SOAL

1. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) Hari ini Jakarta banjir.

b) Kambing bisa terbang.

c) Didi anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Pembahasan
a) Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Atau boleh juga dengan format berikut:
a) Hari ini Jakarta tidak banjir.
b) Kambing tidak bisa terbang.
c) Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.

2. Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.

Pembahasan
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata "Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.

3. Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)

Pembahasan
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap

4. Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
    q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi
    q : Iwan memakai dasi

c) p : Mahesa  anak jenius.
    q : Mahesa anak pemalas.

Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
    q : Hari ini Jakarta banjir

p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir

b) p : Iwan memakai topi
    q : Iwan memakai dasi

p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi

c) p : Mahesa anak jenius.
    q : Mahesa anak pemalas.

p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

Kata "dan"  bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan.

5. Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
    q : Hari ini aliran listrik putus.

Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q

Pembahasan
a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

6. Diberikan data:

Pernyataanp bernilai salah

Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q

Pembahasan
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:

p	q	~p	~q	p ∧ q	p ∧ ~q	~p ∧ q	~p ∧ ~q
S	B	B	S	S	S	B	S

Dari tabel di atas
a) p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c) ~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah

7. Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):
a) p : Ibu memasak ayam goreng
   q : Ibu membeli soto babat di pasar

b) p : Pak Bambang mengajar matematika
   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

Pembahasan
a) p : Ibu memasak ayam goreng
   q : Ibu membeli soto babat di pasar

   p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.

b) p : Pak Bambang mengajar matematika
   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

   p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris


8. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:

p	q
B	S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
a) p ∨ q
b) p ∨ ~q
c) ~p ∨ q

Pembahasan
Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:

.	p	q	p ∨ q
1	B	B	B
2	B	S	B
3	S	B	B
4	S	S	S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B

p	q	~p	~q
B	S	S	B

a) p ∨ q
p bernilai B, q bernilai S
Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)

b) p ∨ ~q
p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)
Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)

c) ~p ∨ q
~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S
Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

9. Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)

Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan

q : Matematika  membosankan

Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan

Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi

~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan


10. Tentukan negasi dari pernyataan:
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung

Pembahasan
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.

b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Ingat:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung

11. Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q

Pembahasan
Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:
a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat